问答题
设随机变量X的概率密度为
令随机变量
令随机变量
问答题
求Y的分布函数；
【正确答案】解 Y的分布函数为FY(y)=P(Y≤y)
y＜1时，FY(y)=0；
y≥2时，FY(y)=1；
1≤y＜2时，
FY(y)=P(Y≤y｜X≤1)P(X≤1)+P(Y≤y｜1＜X＜2)P(1＜X＜2)+P(Y≤y｜X≥2)P(X≥2)
而P(Y≤y｜X≤1)=P(2≤y｜X≤1)=0，P(y≤y｜X≥2)=P(1≤y｜X≥2)=1，
P(Y≤y｜1＜X＜2)=P(X≤y｜1＜X＜2)=[*]
代入得FY(y)=P(1＜X≤y)+P(X＞2)
=[*]
故[*]
y＜1时，FY(y)=0；
y≥2时，FY(y)=1；
1≤y＜2时，
FY(y)=P(Y≤y｜X≤1)P(X≤1)+P(Y≤y｜1＜X＜2)P(1＜X＜2)+P(Y≤y｜X≥2)P(X≥2)
而P(Y≤y｜X≤1)=P(2≤y｜X≤1)=0，P(y≤y｜X≥2)=P(1≤y｜X≥2)=1，
P(Y≤y｜1＜X＜2)=P(X≤y｜1＜X＜2)=[*]
代入得FY(y)=P(1＜X≤y)+P(X＞2)
=[*]
故[*]
【答案解析】
问答题
求概率P{X≤Y}．
【正确答案】P(X≤Y)=P(X≤Y｜X≤1)P(X≤1)+P(X≤Y｜1＜X＜2)P(1＜X＜2)
+P(X≤Y｜X≥2)P(X≥2)
而P(X≤Y｜X≤1)=P(X≤2｜X≤1)=[*]，
P(X≤Y｜1＜X＜2)=P(X≤X｜1＜X＜2)=[*]，
P(X≤Y｜X≥2)=P(x≤1｜X≥2)=[*]，
代入得P(X≤Y)=P(X≤1)+P(1＜X＜2)=P(X＜2)=[*]．
①对随机变量函数的分布，即求P{g(X)≤Y)时，如果g(X)有值域(能看出多少算多少，尽量多看出一些)，那么y落在这个值域之外时(y是自变量，可以讨论，注意不要讨论随机变量如X，Y)，这时P{g(X)≤y)很简单，不是0就是1，考试时先把简单的做出，把该拿的分先拿住，心情也会好一些；②求分布函数时，讨论自变量y时，“等号”应习惯性地放在“大于”上，即“y≥2”，“1≤y＜2”(不管原题中那个Y与X关系式中X在1和2处的等号在哪)，因为大纲中的分布函数是右连续的，这样可避免出错；③为了让读者易于看懂，本解法用了全概率公式(再次强调，不要讨论随机变量如X)，目的是为了写清Y(是1，是X，还是2)，这样是写得长了点，如果能看出：“1≤y＜2时，FY(y)=P(1-X≤y)+P(X≥2)，或FY(y)=P(1＜Y≤y)+P(Y=1)”及“P(X≤Y)=P(X≤2)”，当然不扣分，不知读者可否看懂这些式子?④求如P(X≤2｜X≤1)时，勿看成或求成P(X≤1)；⑤本题Y是既不离散又不连续的随机变量(注意FY(y)有间断点)，没有概率密度，勿对FY(y)求导．
+P(X≤Y｜X≥2)P(X≥2)
而P(X≤Y｜X≤1)=P(X≤2｜X≤1)=[*]，
P(X≤Y｜1＜X＜2)=P(X≤X｜1＜X＜2)=[*]，
P(X≤Y｜X≥2)=P(x≤1｜X≥2)=[*]，
代入得P(X≤Y)=P(X≤1)+P(1＜X＜2)=P(X＜2)=[*]．
①对随机变量函数的分布，即求P{g(X)≤Y)时，如果g(X)有值域(能看出多少算多少，尽量多看出一些)，那么y落在这个值域之外时(y是自变量，可以讨论，注意不要讨论随机变量如X，Y)，这时P{g(X)≤y)很简单，不是0就是1，考试时先把简单的做出，把该拿的分先拿住，心情也会好一些；②求分布函数时，讨论自变量y时，“等号”应习惯性地放在“大于”上，即“y≥2”，“1≤y＜2”(不管原题中那个Y与X关系式中X在1和2处的等号在哪)，因为大纲中的分布函数是右连续的，这样可避免出错；③为了让读者易于看懂，本解法用了全概率公式(再次强调，不要讨论随机变量如X)，目的是为了写清Y(是1，是X，还是2)，这样是写得长了点，如果能看出：“1≤y＜2时，FY(y)=P(1-X≤y)+P(X≥2)，或FY(y)=P(1＜Y≤y)+P(Y=1)”及“P(X≤Y)=P(X≤2)”，当然不扣分，不知读者可否看懂这些式子?④求如P(X≤2｜X≤1)时，勿看成或求成P(X≤1)；⑤本题Y是既不离散又不连续的随机变量(注意FY(y)有间断点)，没有概率密度，勿对FY(y)求导．
【答案解析】
问答题
将一枚均匀硬币连掷3次，X为这3次抛掷中正面出现的次数，Y为这3次抛掷中正、反面出现的次数之差的绝对值．试写出(X，Y)的分布列和关于X，Y的边缘分布列，并判断X与Y是否独立．
【正确答案】[*]，k=0，1，2，3，而Y=｜X-(3-X)｜=｜2X-3｜，得(X，Y)的分布如下表，并算出边缘分布列．∵P(X=0，Y=1)=0≠[*]=P(X=0)P(Y=1)，∴X与Y不独立．
[*]
【答案解析】