问答题
证明n阶矩阵
与
与
【正确答案】
【答案解析】证1 设矩阵
，
因为
所以A与B有相同的特征值λ 1 =n，λ n =0(n-1重)．由于A为实对称矩阵，所以A相似于对角矩阵
因为r(λ 2 E-B)=r(B)=l，所以B的对应于特征值λ 2 =0有n-1个线性无关的特征向量，于是由方阵相似于对角矩阵的充要条件知B也相似于A．再由矩阵的相似关系具有对称性和传递性知A与B也相似．
△证2 设存在可逆矩阵P，使得P -1 AP=B，或AP=PB，设P按列分块为P=[p 1 ，p 2 ，p n ]，则
Ap
1
=0，…，Ap
n-1
=0，…，Ap
n
=p
1
+2p
2
+ … +np
n
由解上面的方程组，可求出可逆矩阵
，
因为
所以A与B有相同的特征值λ 1 =n，λ n =0(n-1重)．由于A为实对称矩阵，所以A相似于对角矩阵
因为r(λ 2 E-B)=r(B)=l，所以B的对应于特征值λ 2 =0有n-1个线性无关的特征向量，于是由方阵相似于对角矩阵的充要条件知B也相似于A．再由矩阵的相似关系具有对称性和传递性知A与B也相似．
△证2 设存在可逆矩阵P，使得P -1 AP=B，或AP=PB，设P按列分块为P=[p 1 ，p 2 ，p n ]，则
Ap
1
=0，…，Ap
n-1
=0，…，Ap
n
=p
1
+2p
2
+ … +np
n
由解上面的方程组，可求出可逆矩阵