解答题
12.
设f(x)在[0，1]上连续，证明：存在ξ∈(0，1)，使得∫
0
ξ
f(t)dt+(ξ－1)f(ξ)=0．
【正确答案】
令φ(x)=x∫
0
x
f(t)dt－∫
0
x
f(t)dt．
因为φ(0)=φ(1)=0，所以由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ′(ξ)=0．
而φ′(x)=∫
0
x
f(t)dt+(x－1)f(x)，故∫
0
ξ
f(t)dt+(ξ－1)f(ξ)=0．
【答案解析】
由∫
0
x
f(t)dt+(x－1)f(x)=0，得∫
0
x
f(t)dt+xf(x)－f(x)=0，从而
(x∫
0
x
f(t)dt－∫
0
x
f(t)dt)′=0，辅助函数为φ(x)=x∫
0
x
f(t)dt－∫
0
x
f(t)dt．
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