解答题
20.设向量组
【正确答案】依题意有x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0．对方程组的系数矩阵A施以初等行变换，得
显然，当a=0时，r(A)=1＜4，故方程组有非零解，其同解方程组为
x1+x2+x3+x4=0，
此时，方程组的通解为
其中k1，k2，k3为任意常数．
当a≠0时，由
显然，当a≠-10时，r(A)=4，故方程组仅有零解，从而α1，α2，α3，α4线性无关．
当a=-10时，r(A)=3＜4，此时方程有非零解，从而α1，α2，α3，α4线性相关．
此时通解为
显然，当a=0时，r(A)=1＜4，故方程组有非零解，其同解方程组为
x1+x2+x3+x4=0，
此时，方程组的通解为
其中k1，k2，k3为任意常数．
当a≠0时，由
显然，当a≠-10时，r(A)=4，故方程组仅有零解，从而α1，α2，α3，α4线性无关．
当a=-10时，r(A)=3＜4，此时方程有非零解，从而α1，α2，α3，α4线性相关．
此时通解为
【答案解析】本题考查向量组线性相关性的定义，并注意到向量组α1，α2，α3，α4线性无关，其对应的齐次线性方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0仅有零解；若向量组α1，α2，α3，α4线性相关，其对应的齐次线性方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0有非零解．