解答题
6.(16年)已知函数f(x)在
的一个原函数，且f(0)=0．
(I)求f(x)在区间
上的平均值；
(Ⅱ)证明f(x)在区间
的一个原函数，且f(0)=0．(I)求f(x)在区间
上的平均值；(Ⅱ)证明f(x)在区间
【正确答案】(I)f(x)在区间
上的平均值
当0＜x＜
因为f'(x)＜0，所以f(x)＜f(0)=0，故f(x)在
内无零点，且
由积分中值定理，存在
．使得f(x0)=
由于当
f(x)＜0，所以
根据连续函数介值定理，存在
，使得f(ξ)=0．又因为当
f’(x)＞0，所以f(x)在
内至多只有一个零点．
综上所述，f(x)在
上的平均值当0＜x＜
因为f'(x)＜0，所以f(x)＜f(0)=0，故f(x)在内无零点，且由积分中值定理，存在
．使得f(x0)=由于当f(x)＜0，所以根据连续函数介值定理，存在
，使得f(ξ)=0．又因为当f’(x)＞0，所以f(x)在内至多只有一个零点．综上所述，f(x)在
【答案解析】