解答题
证明：
【正确答案】
【答案解析】[证法一] 设辅助函数F(x)=(1+x)ln(1+x)-arctanx．
当x＞0时，F"(x)＞0，故F'(x)在(0，+∞)内单调递增．
于是F'(x)＞F'(0)=0，故F(x)在(0，+∞)内单调递增．
因此F(x)＞F(0)=0，即
(1+x)ln(1+x)＞arctanx．
又由于当x＞0时，arctanx＞0，故
[证法二] 设辅助函数f(x)=(1+x)ln(1+x)，g(x)=arctanx．
由于函数f(x)、g(x)在[0，x]上连续，在(0，x)内可导，根据柯西中值定理，有
其中ξ∈(0，x)．
由于(1+ξ2)＞1，[1+ln(1+ξ)]＞1，所以有(1+ξ2)[1+ln(1+ξ)]＞1，从而
当x＞0时，F"(x)＞0，故F'(x)在(0，+∞)内单调递增．
于是F'(x)＞F'(0)=0，故F(x)在(0，+∞)内单调递增．
因此F(x)＞F(0)=0，即
(1+x)ln(1+x)＞arctanx．
又由于当x＞0时，arctanx＞0，故
[证法二] 设辅助函数f(x)=(1+x)ln(1+x)，g(x)=arctanx．
由于函数f(x)、g(x)在[0，x]上连续，在(0，x)内可导，根据柯西中值定理，有
其中ξ∈(0，x)．
由于(1+ξ2)＞1，[1+ln(1+ξ)]＞1，所以有(1+ξ2)[1+ln(1+ξ)]＞1，从而