解答题已知3阶实对称矩阵A的特征值是1，1，0，且α=(1，1，1)^T是齐次方程组Ax=0的基础解系．

问答题求A的特征向量．

【正确答案】解：由Aα=0=0α，知α=(1，1，1)T是矩阵A关于特征值λ=0的特征向量．设A关于特征值λ=1的特征向量为(x1，x2，x3)T．因为实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，有x1+x2+x3=0 基础解系α1=(-1，1，0)T，α2=(-1，0，1)T是矩阵A关于特征值λ=1的线性无关的特征向量．故A关λ=1的特征向量为：k1α1+k2α2，k1，k2不全为0， λ=0的特征向量为：kα，k≠0．

【答案解析】

问答题求秩r(A-E)．

【正确答案】解：A是实对称矩阵必与对角矩阵相似，有故，所以．

【答案解析】

问答题如β=(1，3，5)^T，求Aⁿβ．

【正确答案】解：设x1α1+x2α2+x3α3=β，解出 β=2α2+3α，Aβ=2Aα2+3Aα由Aα=λα有Anα=λnα那么 Anβ=2Anα2+3Anα=2α2=2(-1，0，1)T．

【答案解析】