面对单位推行的“一章办事”系统出现问题，且领导要求在24小时内完成审核工作的紧急情况，我会采取以下步骤来应对：

首先，我会立即启动紧急响应机制。我会迅速召集相关部门的关键人员，召开一个面对面的紧急会议。在会议上，我会清晰、明确地传达领导的指示和时间限制，强调任务的重要性和紧迫性。同时，我会鼓励各部门开放、诚实地讨论各自面临的问题和困难，避免指责和推诿，共同寻找解决方案。

其次，我会与技术部门紧密合作，快速定位系统问题的具体原因。一旦问题定位明确，我会根据问题的性质，将责任明确分配给能够解决问题的部门或个人。如果问题涉及多个部门，我会积极协调，确保各部门能够协同工作，共同解决问题。 在等待系统修复的同时，我会制定一个基于当前情况的应急计划。这个计划可能包括采用手动操作、替代工具或临时流程等方式，以确保审核工作能够继续进行。我会与领导沟通，获得对应急计划的认可和支持，并立即付诸实施。

再次，为了确保计划的顺利执行，我会设立一个专门的项目管理团队或协调人，负责持续跟进各部门的进度。我会定期召开简短的进度会议，确保各部门都按照计划执行。对于出现的问题或延误，我会及时进行调整和补救，确保整个流程顺畅无阻。 在这个过程中，我会特别注重加强跨部门合作。我会鼓励各部门之间建立更加紧密的沟通渠道，以便在未来更好地协作。如果可能的话，我还会组织一些团队建设活动，增强部门间的信任和默契。

此外，任务完成后，我会组织一次复盘会议，总结整个过程中的经验和教训。我会识别导致推诿扯皮的根本原因，如沟通不畅、责任不清等，并提出改进措施。同时，我会将这些经验和教训记录下来，以便在未来遇到类似情况时能够更快地应对。

最后，我会及时向领导汇报进展情况。在任务完成后，我会向领导提交一份详细的报告，包括问题的原因、解决方案、各部门的贡献以及未来的改进措施。这样，领导就能全面了解整个事件的经过和结果，对我们的工作给予指导和支持。