单选题
求f(x，y)=x
2
－y
2
+2在椭圆域D={(x，y)|x
2
+
【正确答案】正确答案：求f(x，y)x
2
－y
2
+2在区域D={(x，y)|x
2
+
≤1}上的最值应分两种情形考虑：在椭圆域D的内点考虑无约束极值问题；在椭圆域D的边界考虑条件极值问题． 解法1考查f(x，y)=x
2
－y
2
+2在区域x
2
+
＜1内的极值． 令
解得x=0，y=0，即f(x，y)在x
2
+
＜1内有唯一驻点(0，0)． 在x
2
+
=1上，记y
2
=4－4x
2
，因此有 f(x，y)=x
2
－(4－4x
2
)+2=5x
2
－2，－1≤x≤1， 令df／dx=10x=0，得x=0．当x=0时，y=±2；当x=±1时，y=0． 所以f(±1，0)=3，f(0，±2)=－2． 又f(0，0)=2， 因此f(x，y)在D上的最大值为3，最小值为－2． 解法2在区域x
2
+
＜1内解法同解法1． 在椭圆x
2
+
=1上，利用拉格朗日乘数法求极值．设 L=x
2
－y
2
+2+λ(x
2
+
－1)， 由
≤1}上的最值应分两种情形考虑：在椭圆域D的内点考虑无约束极值问题；在椭圆域D的边界考虑条件极值问题． 解法1考查f(x，y)=x
2
－y
2
+2在区域x
2
+
＜1内的极值． 令
解得x=0，y=0，即f(x，y)在x
2
+
＜1内有唯一驻点(0，0)． 在x
2
+
=1上，记y
2
=4－4x
2
，因此有 f(x，y)=x
2
－(4－4x
2
)+2=5x
2
－2，－1≤x≤1， 令df／dx=10x=0，得x=0．当x=0时，y=±2；当x=±1时，y=0． 所以f(±1，0)=3，f(0，±2)=－2． 又f(0，0)=2， 因此f(x，y)在D上的最大值为3，最小值为－2． 解法2在区域x
2
+
＜1内解法同解法1． 在椭圆x
2
+
=1上，利用拉格朗日乘数法求极值．设 L=x
2
－y
2
+2+λ(x
2
+
－1)， 由
【答案解析】