解答题
19.求函数f(x，y)=x2+2y2在约束条件x2+y2=1下的最大值和最小值．
【正确答案】解法1：转化为无条件极值．
由约束条件可得x2=1-y2，-1≤y≤1，代入目标函数f(x，y)=x2+2y2中，得
φ(y)=(1-y2)+2y2=1+y2，-1≤y≤1．
由φ'(Y)=2y=0得唯一驻点y=0，又φ(0)=1，φ(±1)=2，可知φ(y)的最大值为2，最小值为0．故函数f(x，y)=x2+2y2在约束条件x2+y2=1下的最大值和最小值分别为2，0．
解法2：利用拉格朗日乘数法．
设L(x，y，λ)=x2+2y2+λ(x2+y2-1)，由
由约束条件可得x2=1-y2，-1≤y≤1，代入目标函数f(x，y)=x2+2y2中，得
φ(y)=(1-y2)+2y2=1+y2，-1≤y≤1．
由φ'(Y)=2y=0得唯一驻点y=0，又φ(0)=1，φ(±1)=2，可知φ(y)的最大值为2，最小值为0．故函数f(x，y)=x2+2y2在约束条件x2+y2=1下的最大值和最小值分别为2，0．
解法2：利用拉格朗日乘数法．
设L(x，y，λ)=x2+2y2+λ(x2+y2-1)，由
【答案解析】考查多元函数条件极值的求法，转化为无条件极值计算或利用拉格朗日乘数法求解．