【正确答案】正确答案：(Ⅰ)记C=(α ₁ ，α ₂ ，…，α _s )，这是一个n×s实矩阵，则根据矩阵乘法的分块法则，A=CC ^T ，于是A ^T = (CC ^T ) ^T =CC ^T =A。 即A是对称矩阵。 (Ⅱ)A的负惯性指数为0也就是A的特征值都不是负数。设λ是A的一个特征值，η是属于λ的一个特征向量，即Aη=λη,则η ^T Aη=λη ^T η，→η ^T CC ^T η=λη ^T η，即(C ^T η，C ^T η)=λ(η ^T ，η)则λ=(C ^T η，C ^T η)/(η ^T ，η)≥0。 (Ⅲ)A的正、负惯性指数之和等于A的秩，因为A的负惯性指数为0，正惯性指数就为A的秩，由于C是实矩阵r(A)=r(C)=r(α ₁ ，α ₂ ，…，α _s )=k，于是为A的正惯性指数为k，二次型X ^T AX的规范形为y ² ₁ +y ² ₂ +…+y ² _k 。