问答题
已知实二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax的矩阵满足a
11
+a
22
+a
33
=-6，AB=C，其中
问答题
用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换和用正交变换所得的标准形；
【正确答案】
【答案解析】[解]
由AB=C，AB=A(α 1 ，α 2 )=(0，-12α 2 )，
∴Aα 1 =0，Aα 2 =-12α 2 ．
∴α 1 ，α 2 是A的分别属于λ 1 =0，λ 2 =-12的特征向量，又由题设，A的迹为
a 11 +a 22 +a 33 =λ 1 +λ 2 +λ 3 =-6，∴λ 3 =6．
设λ 3 =6的特征向量为α 3 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，
由α 1 ⊥α 3 ，α 2 ⊥α 3 ，得
解得
∴
α 1 ，α 2 ，α 3 已经正交化，只需单位化．
令P=(e 1 ，e 2 ，e 3 )，则有
作正交变换，令x=Py，
由AB=C，AB=A(α 1 ，α 2 )=(0，-12α 2 )，
∴Aα 1 =0，Aα 2 =-12α 2 ．
∴α 1 ，α 2 是A的分别属于λ 1 =0，λ 2 =-12的特征向量，又由题设，A的迹为
a 11 +a 22 +a 33 =λ 1 +λ 2 +λ 3 =-6，∴λ 3 =6．
设λ 3 =6的特征向量为α 3 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，
由α 1 ⊥α 3 ，α 2 ⊥α 3 ，得
解得
∴
α 1 ，α 2 ，α 3 已经正交化，只需单位化．
令P=(e 1 ，e 2 ，e 3 )，则有
作正交变换，令x=Py，
问答题
求出该二次型．
【正确答案】
【答案解析】
二次型
二次型