单选题 19.设有任意两个n维向量组α₁，…，α_m和β₁，…，β_m，若存在两组不全为零的λ₁，…，λ_m和k₁，k₂，…，k_m，使(λ₁+k₁)α₁+…+(λ_m+k_m)α_m+(λ₁-k₁)β₁+…+(λ_m-k_m)β_m=0，则( )

A、 α₁，…，α_m和β₁，…，β_m都线性相关．
B、 α₁，…，α_m和β₁，…，β_m都线性无关．
C、 α₁+β₁，…，α_m+β_m，α₁-β₁，…，α_m-β_m线性无关．
D、 α₁+β₁，…，α_m+β_m，α₁-β₁，…，α_m-β_m线性相关．

【正确答案】 D

【答案解析】本题考查对向量组线性相关、线性无关概念的理解．若向量组γ₁，γ₂，…，γ_s线性无关，即若x₁γ₁+x₂γ₂+…+x_sγ_s=0，必有x₁=0，x₂=0，…，x_s=0．
λ₁，…，λ_m与k₁，…，k_m不全为零，由此推不出某向量组线性无关，故应排除B、C．
一般情况下，对于
k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s+l₁β₁+…+l_sβ_s=0，
不能保证必有k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s=0及l₁β₁+…+l_sβ_s=0，故A不正确．由已知条件，有
λ₁(α₁+β₁)+…+λ_m(α_m+β_m)+
k₁(α₁-β₁)+…+k_m(α_m-β_m)=0，
又λ₁，…，λ_m与k₁，…，k_m不全为零，故α₁+β₁，…，α_m+β_m，α₁-β₁，…，α_m-β_m线性相关．故选D．