问答题
设函数f(x，y)在闭圆域x2+y2≤1上有连续一阶偏导数，且|f(x，y)|≤1，求证：在开圆域x2+y2＜1内至少存在一点(x0，y0)，使
[f′x(x0，y0)]2+[f′y(x0，y0)]2＜4．
[f′x(x0，y0)]2+[f′y(x0，y0)]2＜4．
【正确答案】[证] 1)若f(0，0)≥0，令
则
在D上有最大值，但
则
的最大值必可在D内一点(x0，y0)取到，则
即fx(x0，y0)-2x0=0，fy(x0，y0)-2y0=0
则f2x(x0，y0)+f2y(x0，y0)=4(x20+y20)＜4
2)若f(0，0)＜0，令
则
在
上有最小值，但
则
的最小值必可在D内一点(x0，y0)取到．
则
则在D上有最大值，但则
的最大值必可在D内一点(x0，y0)取到，则即fx(x0，y0)-2x0=0，fy(x0，y0)-2y0=0
则f2x(x0，y0)+f2y(x0，y0)=4(x20+y20)＜4
2)若f(0，0)＜0，令
则在上有最小值，但则
的最小值必可在D内一点(x0，y0)取到．则
【答案解析】