问答题
设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A
2
=A，求
问答题
二次型x
T
Ax的标准形；
【正确答案】
【答案解析】[解析] 设Aα=λα(α≠0)，则A
2
α=Aα=λα，又A
2
α=λ
2
α，
故
的取值范围是1或0．
由n阶实对称矩阵A的秩为r知，λ=1，λ=0分别为A的r重和n-r重特征值，
故存在正交矩阵P，使得
经正交变换x=Py，二次型x T Ax的标准形为
故
的取值范围是1或0．
由n阶实对称矩阵A的秩为r知，λ=1，λ=0分别为A的r重和n-r重特征值，
故存在正交矩阵P，使得
经正交变换x=Py，二次型x T Ax的标准形为
问答题
行列式|E+A+A
2
+…+A
n
|的值，其中E为单位矩阵．
【正确答案】
【答案解析】[解析] 由A
2
=A，知A
2
=…=A
n
=A，故
|E+nA|=|PP -1 +nPΛP -1 |=|P(E+nΛ)P -1 |
=|P||E+nΛ||P -1 |
=|E+nΛ|=(n+1) r ．
|E+nA|=|PP -1 +nPΛP -1 |=|P(E+nΛ)P -1 |
=|P||E+nΛ||P -1 |
=|E+nΛ|=(n+1) r ．