问答题
已知二次型f(x1，x2，x3)=
问答题
求a的值；
【正确答案】解 f的秩为2，即f的矩阵
[*]
的秩为2．所以有[*]=-4a=0，得a=0．
【答案解析】
问答题
求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形；
【正确答案】当a=0时，[*].｜λE-A｜=[*]=(λ-2)2λ
可知A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=0．
A的属于λ1=2的线性无关的特征向量为
η1=(1，1，0)T，η2=(0，0，1)T
A的属于λ3=0的线性无关的特征量为
η3=(-1，1，0)T
易见η1，η2，η3两两正交．将η1，η2，η3单位化得
[*]
取Q=(e1，e2，e3)，则Q为正交矩阵．作正交变换x=Qy，得f的标准形为
[*].
可知A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=0．
A的属于λ1=2的线性无关的特征向量为
η1=(1，1，0)T，η2=(0，0，1)T
A的属于λ3=0的线性无关的特征量为
η3=(-1，1，0)T
易见η1，η2，η3两两正交．将η1，η2，η3单位化得
[*]
取Q=(e1，e2，e3)，则Q为正交矩阵．作正交变换x=Qy，得f的标准形为
[*].
【答案解析】
问答题
求方程f(x1，x2，x3)=0的解．
【正确答案】解1 在正交变换x=Qy下，f(x1，x2，x3)=0化成[*]，解之得y1=y2=0，从而得所
求方程的解为
[*]，其中k为任意常数．
解2 由于f(x1，x2，x3)=[*]所以
[*]
其通解为x=k(-1，1，0)T，其中k为任意常数．
在求A的对应于特征值λ1=λ2=2的特征向量时，由2E-A=[*]→[*]，知可选x1为约束未知量，从而x2，x3为自由未知量，令(x2，x3)T=(1，0)T，得解η1=(1，1，0)T，再令(x2，x3)T=(0，1)T，得解η2=(0，0，1)T．注意2E-A的秩为1，故约束未知量只有1个，选系数非零的1个未知量作为约束未知量即可，但当约束未知量选定后，其余未知量自然成为自由未知量．
求方程的解为
[*]，其中k为任意常数．
解2 由于f(x1，x2，x3)=[*]所以
[*]
其通解为x=k(-1，1，0)T，其中k为任意常数．
在求A的对应于特征值λ1=λ2=2的特征向量时，由2E-A=[*]→[*]，知可选x1为约束未知量，从而x2，x3为自由未知量，令(x2，x3)T=(1，0)T，得解η1=(1，1，0)T，再令(x2，x3)T=(0，1)T，得解η2=(0，0，1)T．注意2E-A的秩为1，故约束未知量只有1个，选系数非零的1个未知量作为约束未知量即可，但当约束未知量选定后，其余未知量自然成为自由未知量．
【答案解析】