问答题
设n阶矩阵
问答题
求A的特征值和特征向量．
【正确答案】
【答案解析】由题设，先由特征值多项式|A-λE|=0求A的特征值，即
=[1-λ+(n-1)b](1-λ-b) n-1 ，
因此A的特征值为λ 1 =1+(n-1)b，λ 2 =λ 3 =…=λ n =1-b．
当b≠0时，对应于了λ 1 =1+(n-1)b，
不难求出
是(A-λ
1
E)x=0的基础解系，从而属于λ
1
的特征向量Cξ
1
=
，其中C为任意非0常数．对应于λ
2
=λ
3
=…=λ
n
=1-b，
,
易得出基础解系为
从而特征向量为C 2 ξ 2 +C 3 ξ 3 +…+C n ξ n ，其中C 2 ，C 3 ，…，C n 是不全为0的常数．
当b=0时，
=[1-λ+(n-1)b](1-λ-b) n-1 ，
因此A的特征值为λ 1 =1+(n-1)b，λ 2 =λ 3 =…=λ n =1-b．
当b≠0时，对应于了λ 1 =1+(n-1)b，
不难求出
是(A-λ
1
E)x=0的基础解系，从而属于λ
1
的特征向量Cξ
1
=
，其中C为任意非0常数．对应于λ
2
=λ
3
=…=λ
n
=1-b，
,
易得出基础解系为
从而特征向量为C 2 ξ 2 +C 3 ξ 3 +…+C n ξ n ，其中C 2 ，C 3 ，…，C n 是不全为0的常数．
当b=0时，
问答题
求可逆矩阵P，使得P
-1
AP为对角矩阵．
【正确答案】
【答案解析】由前述已知，当b≠0，A有n个线性无关的特征向量，令P=(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
，…，ξ
n
)，
则
则