问答题
(1)设λ
1
，λ
2
，…，λ
n
是n阶矩阵A的互异特征值，α
1
，α
2
，…，α
n
是A的分别对应于这些特征值的特征向量，证明α
1
，α
2
，…，α
n
线性无关；
(2)设A，B为n阶方阵，B≠0，若方程|A一λB|=0的全部根λ
1
，λ
2
，…，λ
n
互异，α
i
分别是方程组(A—λ
i
B)x=0的非零解，i=1，2，…，n．证明α
1
，α
2
，…，α
n
线性无关．
【正确答案】正确答案：(1)用数学归纳法． ①由于特征向量α
1
≠0，故α
1
线性无关； ②假设前k一1个向量α
1
，α
2
，…，α
k-1
线性无关，以下证明α
1
，α
2
，…，α
k
线性无关．k个互异特征 值λ
1
，λ
2
，…，λ
k
对应着特征向量α
1
，α
2
，…，α
k
现设存在一组数ι
1
，ι
2
，…，ι
k
，使得 ι
1
α
1
+ι
2
α
2
+…+ι
k
α
k
=0． (*) 在(*)式两端左边乘A，有ι
1
Aα
1
+ι
2
Aα
2
+…+ι
k
Aα
k
=0，即 ι
1
λ
1
α
1
+ι
2
λ
2
α
2
+…+ι
k
λ
k
α
k
=0； (**) 又在(*)式两端同时乘λ
k
，有ι
1
λ
k
α
1
+ι
2
λ
k
α
2
+…+ι
k
λ
k
α
k
=0． (***) 用(**)式减去(***)式，得 ι
1
(λ
1
一λ
k
)α
1
+ι
2
(λ
2
—λ
k
)α
2
+…+ι
k-1
(λ
k-1
一λ
k
)α
k-1
=0． 由归纳假设α
1
，α
2
，…，α
k-1
线性无关，故 ι
1
(λ
1
—λ
k
)=ι
2
(λ
2
一λ
k
)=…=ι
k-1
(λ
k-1
一λ
k
)=0， 又λ
i
—λ
k
≠0(i=1，2，…，k一1)，故ι
1
=ι
2
=…=ι
k-1
=0． 代回(*)式，于是ι
k
α
k
=0，由α≠0，有ι
k
=0，于是α
1
，α
2
，…，α
k
线性无关，即A的n个互异特征值对应的特征向量α
1
，α
2
，…，α
n
线性无关．证毕． (2)由|B|≠0，在|A一λB|=0两边乘|B
-1
|，有 |B
-1
A一λE|=0，即|λE一B
-1
A|=0， 于是λ
1
，λ
2
，…，λ
n
是矩阵B
-1
A的n个互异特征值． 又由(A—λ
i
B)x=0，两端左边乘B
-1
，有(B
-1
A—λ
i
E)x=0，即(λ
i
E—B
-1
A)x=0，故α
1
，α
2
，…，α
n
为B
-1
A的对应于λ
1
，λ
2
，…，λ
n
的特征向量，由(1)知，α
1
，α
2
，…，α
n
线性无关．
【答案解析】