问答题
已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．证明：
(Ⅰ) 存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1-∈；
(Ⅱ) 存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f'(η)f'(ζ)=1．
【正确答案】(Ⅰ) 即证[*]在(0，1)存在零点．由于F(x)在[0，1]连续，且
F(0)=-1，F(1)=1
即F(0)·F(1)＜0，由连续函数的零点存在性定理知，[*]，使得F(ξ)=0，即
f(ξ)=1-ξ．
(Ⅱ) 利用题(Ⅰ)的结果，在[0，ξ]上用拉格朗日中值定理知，[*]，使得在[ξ，1]上，用拉格朗日中值定理知，[*]，使得
[*]
两式相乘得
f'(η)·f'(ζ)=1．
【答案解析】[考点提示] 微分中值定理．