【正确答案】设秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ)=r，且设组(Ⅰ)和组(Ⅱ)的极大线性无关组分别为α₁，α₂，…α_r；β₁，β₂，…，β_r，归结证明α₁，α₂，…，α_r与β₁，β₂，…，β_r等价．可用两种方法证之．
一种方法是作向量组(Ⅲ)：α₁，α₂，…，α_r，β₁，β₂，…，β_r证明α₁，α₂，…，α_r与β₁，β₂，…，β_r均为组(Ⅲ)的极大线性无关组，从而α₁，α₂，…，α_r与β₁，β₂，…，β_r等价．
另一种方法是用矩阵表示法，令(α₁，α₂，…，α_r)=(β₁，β₂，…，β_r)A，其中A为r阶矩阵．因α₁，α₂，…，α_r与β₁，β₂，…，β_r都线性无关，故A可逆，从而(β₁，β₂，…，β_r)=(α₁，α₂，…，α_r)A^-1．
于是β₁，β₂，…，β_r可由α₁，α₂，…，α_r线性表出．当然，α₁，α₂，…，α_r也可由β₁，β₂，…，β_r线性表示，所以α₁，α₂，…，α_r与β₁，β₂，…，β_r等价，故组(Ⅰ)与组(Ⅱ)等价．
证一 设秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ)=r，且α₁，α₂，…，α_r与β₁，β₂，…，β_r分别为组(Ⅰ)和组(Ⅱ)的极大线性无关组．作向量组(Ⅲ)：α₁，α₂，…，α_r，β₁，β₂，…，β_r．
下证α₁，α₂，…，α_r与β₁，β₂，…，β_r均为组(Ⅲ)的极大线性无关组．
因组(Ⅰ)能由组(Ⅱ)线性表出，故α₁，α₂，…，α_r也能由β₁，β₂，…，β_r线性表出，从而组(Ⅲ)能由β₁，β₂，…，β_r线性表出，又β₁，β₂，…．β_r线性无关，故β₁，β₂，…，β_r为组(Ⅲ)的一个极大线性无关组，从而秩(Ⅲ)=r，所以组(Ⅲ)中的r个线性无关的向量组也是组(Ⅲ)的一个极大线性无关组，又因同一向量组中的极大线性无关组必等价，故α₁，α₂，…，α_r与β₁，β₂，…，β_r等价．显然组(Ⅰ)与α₁，α₂，…，α_r等价，组(Ⅱ)与β₁，β₂，…，β_r等价，故组(Ⅰ)与组(Ⅱ)必等价(等价的传递性)．
证二 因组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表示，故α₁，α₂，…，α_r可由β₁，β₂，…，β_r线性表示，于是存在r阶矩阵A，使
(α₁，α₂，…，α_r)=(β₁，β₂，…，β_r)A．
利用下述命题：设α₁，α₂，…，α_r和β₁，β₂，…，β_r(r≤n)都是n维向量，如果β₁，β₂，…，β_r线性无关且 (α₁，α₂，…，α_r)=(β₁，β₂，…，β_r)A，
其中A为r阶矩阵，则α₁，α₂，…，α_r线性无关的充分必要条件是A为可逆矩阵．
可知，A为可逆矩阵，且(β₁，β₂，…，β_r)=(α₁，α₂，…，α_r)A^—1．则β₁，β₂，…，β_r可由α₁，α₂，…，α_r线性表出，由等价的定义知α₁，α₂，…，α_r与β₁，β₂，…，β_r等价．又组(Ⅰ)与α₁，α₂，…，α_r等价，组(Ⅱ)与β₁，β₂，…，β_r，等价，由等价的传递性得到组(Ⅰ)与组(Ⅱ)等价．