问答题
设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f"(0)=1，且微分方程
(xy(x+y)-f(x)y)dx+(f"(x)+x 2 y)dy=0
为全微分方程．
(Ⅰ)求f(x)；
(Ⅱ)该全微分方程的通解．
(xy(x+y)-f(x)y)dx+(f"(x)+x 2 y)dy=0
为全微分方程．
(Ⅰ)求f(x)；
(Ⅱ)该全微分方程的通解．
【正确答案】
【答案解析】[解] (Ⅰ)
求得满足f(0)=0，f"(0)=1的特解为f(x)=2cosx+sinx+x 2 -2．
(Ⅱ)求全微分方程
[xy 2 -(2cosx+sinx)y+2y]dx+(-2sinx+cosx+2x+x 2 y)dy=0的通解．关键是求原函数．
方法一 凑原函数法．
[xy 2 -(2cosx+sinx)y+2y]dx+(-2sinx+cosx+2x+x 2 y)dy
=xy(ydx+xdy)+(-2sinx+cosx)dy+yd(-2sinx+cosx)+2(xdy+ydx)
所以该全微分方程的通解为
方法二 折线法．
求得满足f(0)=0，f"(0)=1的特解为f(x)=2cosx+sinx+x 2 -2．
(Ⅱ)求全微分方程
[xy 2 -(2cosx+sinx)y+2y]dx+(-2sinx+cosx+2x+x 2 y)dy=0的通解．关键是求原函数．
方法一 凑原函数法．
[xy 2 -(2cosx+sinx)y+2y]dx+(-2sinx+cosx+2x+x 2 y)dy
=xy(ydx+xdy)+(-2sinx+cosx)dy+yd(-2sinx+cosx)+2(xdy+ydx)
所以该全微分方程的通解为
方法二 折线法．