【答案解析】解 令
易见φ(0)=0，φ(1)=0．是否还有其他的x使φ(x)=0，为此考虑在区间 内φ(x)是否还会变号．
在区间
由于分母1+(e-1)x＞0，分子(e-1)x-(e-2)＜0，所以在区间 又因φ(0)=0，所以在区间 上，φ(x)＞0．φ(x)在该区间内无零点．
再考虑在区间(0，1)上，φ"(x)同上，仍有分母大于零．令φ"(x)的分子为零，得φ(x)的驻点
易见0＜x ₀ ＜1．在区间(0，x ₀ )上φ"(x)＜0，又因φ(0)=0，所以在区间(0，x ₀ )上φ(x)＜0．在区间(x ₀ ，1)上，φ"(x)＞0，φ(1)=0，所以在区间(x ₀ ，1)上φ(x)＜0．
再考虑在区间(1，+∞)上，仍有分母大于零，分子
1+(e-1)x-(e-1)=(e-1)(x-1)+1＞0，
所以在区间(1，+∞)上φ"(x)＞0．又因φ(1)=0，所以当x∈(1，+∞)时φ(x)＞0．总结以上，有
从而知
再考虑积分 由分部积分：

在交界点x=0与x=1处分别连续，于是有

最后得