解答题
[2016年] 设函数y(x)满足方程y''+2y'+ky=0，其中0＜k＜1．
问答题
10.证明：反常积分∫0+∞y(x)dx收敛；
【正确答案】y''+2y'+ky=0的特征方程为λ2+2λ+k=0，其特征根为
(因0＜k＜1)，
故方程的通解为y(x)=C1eλ1x+C2eλ2x．又因
∫0+∞y(x)dx=∫0+∞(C1eλ1x+C2eλ2x)dx
=
(因0＜k＜1)，故方程的通解为y(x)=C1eλ1x+C2eλ2x．又因
∫0+∞y(x)dx=∫0+∞(C1eλ1x+C2eλ2x)dx
=
【答案解析】
问答题
11.若y(0)=1，y'(0)=1求∫0+∞y(x)dx的值．
【正确答案】由y(0)=1，y'(1)=1得到
由λ1≠λ2得到
．由克拉默法则得到
则
因λ1λ2=k，λ1+λ2=一2，故
所以， ∫0+∞y(x)dx=
由λ1≠λ2得到
．由克拉默法则得到则
因λ1λ2=k，λ1+λ2=一2，故
所以， ∫0+∞y(x)dx=
【答案解析】