解答题
10.设f(χ)在[0，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，且2f(0)＝∫02f(t)dt－f(2)＋f(3)．
证明：(1)存在ξ1，ξ2∈(0，3)，使得f′(ξ1)＝f′(ξ2)＝0．
(2)存在ξ∈(0，3)，使得f〞(ξ)－2f′(ξ)＝0．
证明：(1)存在ξ1，ξ2∈(0，3)，使得f′(ξ1)＝f′(ξ2)＝0．
(2)存在ξ∈(0，3)，使得f〞(ξ)－2f′(ξ)＝0．
【正确答案】(1)令F(χ)＝∫0χf(t)dt，F′(χ)＝f(χ)，
∫02f(t)dt＝F(2)－F(0)＝F′(c)(2－0)＝2f(c)，其中0＜c＜2．
因为f(χ)在[2，3]上连续，所以f(χ)在[2，3]上取到最小值m和最大值M，
m≤
≤M，
由介值定理，存在χ0∈[2，3]，使得f(χ0)＝
，即f(2)＋f(3)＝2f(χ0)，
于是f(0)＝f(c)＝f(χ0)，
由罗尔定理，存在ξ1∈(0，c)
(0，3)，ξ2∈(c，χ0)
(0，3)，使得f′(ξ1)＝f′(ξ2)＝0．
(2)令φ(χ)＝e－2χf′(χ)，φ(ξ1)＝φ(ξ2)＝0，
由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)
∫02f(t)dt＝F(2)－F(0)＝F′(c)(2－0)＝2f(c)，其中0＜c＜2．
因为f(χ)在[2，3]上连续，所以f(χ)在[2，3]上取到最小值m和最大值M，
m≤
≤M，由介值定理，存在χ0∈[2，3]，使得f(χ0)＝
，即f(2)＋f(3)＝2f(χ0)，于是f(0)＝f(c)＝f(χ0)，
由罗尔定理，存在ξ1∈(0，c)
(0，3)，ξ2∈(c，χ0)(0，3)，使得f′(ξ1)＝f′(ξ2)＝0．(2)令φ(χ)＝e－2χf′(χ)，φ(ξ1)＝φ(ξ2)＝0，
由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)
【答案解析】