问答题
设有抛物线C1：x2=ay和圆C2：x2+y2=2y，
(Ⅰ) 确定a的取值范围，使得C1，C2交于三点O，M，P(如图)；
(Ⅰ) 确定a的取值范围，使得C1，C2交于三点O，M，P(如图)；
【正确答案】(Ⅰ) 方法1° 由[*]得ay+y2=2y，解得y=0，y=2-a．由0＜y=2-a＜2可得，0＜a＜2．
方法2° C1，C2交于三点O，M，P的充要条件是a＞0，且抛物线C1在原点处的曲率K＞1(圆C2的曲率为1)．由于[*]，所以C1在原点处的曲率为
[*]
因此，当0＜a＜2时，C1，C2交于三点O，M，P．
[*]
(Ⅱ) 两曲线x2=ay，x2+y2=2y的交点为O(0，0)，[*]，由定积分的几何意义及对称性可得所论平面图形面积
[*]
要使S(a)最大，只要f(a)=a(2-a)3最大．由于S'(a)=2(2-a)2(1-2a)，f"(a)=-4(2-a)(1+a)＜0，令f'(a)=0，解得唯一驻点[*]，所以点[*]为最大值点，此时，所求面积的最大值为
[*]
(Ⅲ) 由定积分的几何意义可得所求旋转体的体积(圆柱体的体积减去二倍抛物旋转体的体积，如图)为
[*]
方法2° C1，C2交于三点O，M，P的充要条件是a＞0，且抛物线C1在原点处的曲率K＞1(圆C2的曲率为1)．由于[*]，所以C1在原点处的曲率为
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因此，当0＜a＜2时，C1，C2交于三点O，M，P．
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(Ⅱ) 两曲线x2=ay，x2+y2=2y的交点为O(0，0)，[*]，由定积分的几何意义及对称性可得所论平面图形面积
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要使S(a)最大，只要f(a)=a(2-a)3最大．由于S'(a)=2(2-a)2(1-2a)，f"(a)=-4(2-a)(1+a)＜0，令f'(a)=0，解得唯一驻点[*]，所以点[*]为最大值点，此时，所求面积的最大值为
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(Ⅲ) 由定积分的几何意义可得所求旋转体的体积(圆柱体的体积减去二倍抛物旋转体的体积，如图)为
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【答案解析】