【正确答案】已知不等式等价于即

令g(x)=(1+x)ln²(1+x)一x²，x∈[0，1]，则g(0)=0，且
g’(x)=ln²(1+x)+2ln(1+x)一2x，g’(0)=0，
故g’(x)在[0，1]上严格单调递减，所以g'(x)＜g’(0)=0．同理，g(x)在[0，1]上也严格单调递减，故g(x)＜g(0)=0，即(1+x)ln²(1+x)-x²＜0，从而f'(x)＜0(0＜x≤1)，因此f(x)在(0，1]上也严格单调递减．

故使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数α为