解答题
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．
问答题
20.求A的特征值与特征向量；
【正确答案】由题设知α1，α2是Ax=0的两个解，所以有Aα1=0，Aα2=0．即Aα1=0α1，Aα2=0α2．而α1，α2线性无关，所以λ1=λ2=0是A的二重特征值，α1，α2为A的属于特征值0的两个线性无关的特征向量．
又矩阵A的各行元素之和均为3，即
又矩阵A的各行元素之和均为3，即
【答案解析】本题主要考查实对称矩阵对角化的逆问题．由α1，α2是线性方程组Ax=0的解，知α1，α2是属于0的特征向量．又由A的各行元素之和为3，知(1，1，1)T是A的属于3的特征向量．于是A的所有的特征值、特征向量均求出，从而本题就成为一个常规题了．
问答题
21.求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=Λ；
【正确答案】对α1，α2正交化，令b1=α1=(-1，2，-1)T，
再分别将b1，b2，α3单位化，得
再分别将b1，b2，α3单位化，得
【答案解析】
问答题
22.求A及
【正确答案】因QTAQ=∧，且Q为正交矩阵，故A=Q∧QT．
由A=Q∧QT得
所以
由A=Q∧QT得
所以【答案解析】