设曲线y=f(x)，其中y=f(x)是可导函数，且f(x)＞0。已知曲线yf(x)与直线y=0，x=1及x=t(t＞1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得立体的体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线方程。
【正确答案】正确答案：根据旋转体的体积公式， V=∫
1
t
πf
2
(x)dx=π∫
1
t
f
2
(x)dx， 而曲边梯形的面积为s=∫
1
t
f(x)dx，则由题意可知V=πts可以得到 V=π∫
1
T
f
2
(x)dx=πt∫
1
t
f(x)dx， 因此可得 ∫
1
t
f
2
(x)dx=t∫
1
t
f(x)dx。 上式两边同时对t求导可得 f
2
(t)=∫
1
t
f(x)dx+tf(t)， 即f
2
(t)一tf(t)=∫
1
t
f(x)dx。 继续求导可得 2f(t)f
'
(t)－f(t)一tf
'
(t)=f(t)， 化简[2f(t)一t]f
'
(t)=2f(t)， 亦即
=1， 解这个微分方程得t=
。 在f
2
(t)一tf(t)=∫
1
t
f(x)dx中令t=1，则f
2
(1)一f(1)=0，又f(t)＞0，即f(1)=1，将其代入
。 因此该曲线方程为 2y+
=1， 解这个微分方程得t=
。 在f
2
(t)一tf(t)=∫
1
t
f(x)dx中令t=1，则f
2
(1)一f(1)=0，又f(t)＞0，即f(1)=1，将其代入
。 因此该曲线方程为 2y+
【答案解析】