解答题
16.求原点到曲面(x—y)2+z2=1的最短距离。
【正确答案】根据题意，求曲面上的点(x，y，z)到原点的距离d=
在条件(x一y)2+z2=1下达到最小值，运用拉格朗日函数法。令
F(x，y，z，λ)=x2+y2+z2+λ(x一y)2+λz2一λ，
则有
由(3)式，若λ=一1，代入(1)，(2)得
解得x=0，y=0。代入曲面方程
(x一y)2+z2=1，得到z2=1，d=1。
若λ≠一1，由(3)解得z=0。由(1)，(2)得到x=一y。代入曲面方程(x一y)2+z2=1，得到
故所求的最短距离为d=
在条件(x一y)2+z2=1下达到最小值，运用拉格朗日函数法。令F(x，y，z，λ)=x2+y2+z2+λ(x一y)2+λz2一λ，
则有
由(3)式，若λ=一1，代入(1)，(2)得
解得x=0，y=0。代入曲面方程(x一y)2+z2=1，得到z2=1，d=1。
若λ≠一1，由(3)解得z=0。由(1)，(2)得到x=一y。代入曲面方程(x一y)2+z2=1，得到
故所求的最短距离为d=
【答案解析】