问答题
设n维向量组α
1
，α
2
，…，α
m
(m＜n)线性无关，向量组α
1
，α
2
，…，α
m
，β
1
线性相关，向量组α
1
，α
2
，…，α
m
，β
2
的秩为m+1．证明：向量组α
1
，α
2
，…，α
m
，lβ
1
+β
2
线性无关(其中l为常数)．
【正确答案】
【答案解析】由已知向量组α
1
，α
2
，…，α
m
线性无关，向量组α
1
，α
2
，…，α
m
，β
1
线性相关，
得向量β 1 可由向量组α 1 ，α 2 ，…，α m 线性表出，即
β 1 =λ 1 α 1 +λ 2 α 2 +…+λ m α m ．
由于向量组α 1 ，α 2 ，…，α m ，β 2 的秩为m+1，得此向量组线性无关，即β 2 不能由向量组α 1 ，α 2 ，…，α m 线性表出．
设存在m+1个常数k 1 ，k 2 ，…，k m ，k使
k 1 α 1 +k 2 α 2 +…+k m α m +k(lβ 1 +β 2 )=0，
则必有k=0，若k≠0，则
又β 1 =λ 1 α 1 +λ 2 α 2 +…+λ m α m ，代入式①得
得向量β 1 可由向量组α 1 ，α 2 ，…，α m 线性表出，即
β 1 =λ 1 α 1 +λ 2 α 2 +…+λ m α m ．
由于向量组α 1 ，α 2 ，…，α m ，β 2 的秩为m+1，得此向量组线性无关，即β 2 不能由向量组α 1 ，α 2 ，…，α m 线性表出．
设存在m+1个常数k 1 ，k 2 ，…，k m ，k使
k 1 α 1 +k 2 α 2 +…+k m α m +k(lβ 1 +β 2 )=0，
则必有k=0，若k≠0，则
又β 1 =λ 1 α 1 +λ 2 α 2 +…+λ m α m ，代入式①得