解答题
设3元的实二次型f=xTAx的秩为1，且A的各行元素之和为3．
问答题
20.求一个正交变换x=Py将二次型f=xTAx化成标准；
【正确答案】由A的各行元素之和为3知，λ1=3是A的特征值，其对应的特征向量为α1=k(1，1，1)T，k≠0为任意常数．由二次型f=xTAx的秩为1知r(A)=1，所以A有二重特征值λ2=λ3=0，设其对应的特征向量为x=(x1，x2，x3)T，则有(x，α1)=0，即x1+x2+x3=0，解得λ2=λ3=0对应的特征向量为
【答案解析】本题主要考查综合运用二次型理论化抽象二次型为标准形的题目，先根据二次f=xTAx的秩为1和A的各行元素之和为3确定A的特征值，再根据实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，求A的特征向量，然后将二次型产f=xTAx化成标准形．
问答题
21.写出该二次型；
【正确答案】由P-1AP=∧得A=P∧P-1，即
所以，二次型
所以，二次型
【答案解析】
问答题
22.求
【正确答案】
【答案解析】