解答题
13.
设A是n阶矩阵，k为正整数，α是齐次方程组A
k
X＝0的一个解，但是A
k-1
α≠0．证明α，Aα，…，A
k-1
α线性无关．
【正确答案】
设c
1
α＋c
2
Aα＋…＋c
K
A
k-1
α＝0，要推出每个c
i
＝0．
先用A
k-1
乘上式两边，注意到当m≥k时，A
m
α＝0(因为A
k
X＝0)，得到c
1
A
k-1
α＝0．又因为A
k-1
α≠0，所以c
1
＝0．上式变为c
2
Aα＋…＋c
k
A
k-1
α＝0．再用A
k-2
乘乘之，可得到c
2
＝0．如此进行下去，可证明每个c
i
＝0．
【答案解析】
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