解答题
(本题满分11分)
设二维随机变量(X，Y)在矩形域D={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤1}上服从均匀分布，记
设二维随机变量(X，Y)在矩形域D={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤1}上服从均匀分布，记
【正确答案】
【答案解析】(Ⅰ)如下图所示，因二维随机变量(X，Y)服从区域D上的均匀分布，
故
因U和V的所有可能取值都是0，1，且
P{U=0，V=0)=P{X≤Y，X≤2Y}=P{X≤Y)=
，
P{U=0，V=1)=P{X≤Y，X＞2Y)=0，
P{U=1，V=0)=P{X＞Y，X≤2Y)=P{Y＜X≤2Y}=
，
P(U=1，V=1)=P{X＞Y，X≥2Y)=P{X≥2Y}=
.
故(U，V)的分布律为
(Ⅱ)因
,故
(Ⅲ)由(Ⅰ)可得U，V，UV的分布律分别为
于是
因此
故
因U和V的所有可能取值都是0，1，且
P{U=0，V=0)=P{X≤Y，X≤2Y}=P{X≤Y)=
，P{U=0，V=1)=P{X≤Y，X＞2Y)=0，
P{U=1，V=0)=P{X＞Y，X≤2Y)=P{Y＜X≤2Y}=
，P(U=1，V=1)=P{X＞Y，X≥2Y)=P{X≥2Y}=
.故(U，V)的分布律为
(Ⅱ)因
,故(Ⅲ)由(Ⅰ)可得U，V，UV的分布律分别为
于是
因此