解答题
7.设an=∫0nπx｜sinx｜dx，n=1，2，…，试求
【正确答案】令x=nπ－t，则
an=－∫nπ0(nπ－t)｜sint｜dt=nπ∫0nπ｜sinx｜dx－∫0nπ｜sinx｜dx，所以an=
∫0nπ｜sinx｜dx=
∫0πsinxdx=n2π，n=1，2，…．
记S(x)=∑，
n2xn，－1＜x＜1，因为
，－1＜x＜1，逐项求导，得
，－1＜x＜1．
整理得
，－1＜x＜1．
再次逐项求导，得
，－1＜x＜1．
整理得
，－1＜x＜1．
从而
an=－∫nπ0(nπ－t)｜sint｜dt=nπ∫0nπ｜sinx｜dx－∫0nπ｜sinx｜dx，所以an=
∫0nπ｜sinx｜dx=∫0πsinxdx=n2π，n=1，2，…．记S(x)=∑，
n2xn，－1＜x＜1，因为，－1＜x＜1，逐项求导，得，－1＜x＜1．整理得
，－1＜x＜1．再次逐项求导，得
，－1＜x＜1．整理得
，－1＜x＜1．从而
【答案解析】