AC项错误，根据《侵权责任法》第34条规定，用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。本案中，费某为公交车司机，在驾驶公交车时（执行工作任务），因驾驶不当造成刘某摔倒受伤，应当由用人单位公交公司承担对刘某的赔偿，而不应当由费某赔偿。

B项正确、D项错误，本案中，刘某买票坐车，即与公交公司签订了客运合同，公交公司有义务安全驾驶把刘某安全送达目的地，而公交公司司机费某因驾驶不当致使刘某摔倒受伤，公交公司应当承当违约责任。根据《合同法》第122条规定，因当事人一方的违约行为，侵害对方人身、财产权益的，受损害方有权选择依照本法要求其承担违约责任或者依照其他法律要求其承担侵权责任。因公交公司的违约行为，侵害刘某的人身权益（受伤），刘某有权向公交公司主张违约责任和侵权责任，可刘某既可以要求公交公司承担违约责任，也可以要求公交公司承担侵权责任。

故正确答案为B。