【正确答案】证一 下面证B为实对称矩阵，且对任意X≠0，有X^TBX＞0．
因B^T=(λE+A^TA)^T=(λE)^T+(A^TA)^T=λE+A^TA=B，故B为n阶实对称矩阵．又对任意的n维向量X，有
X^TBX=X^T(λE+A^TA)X=λX^TX+X^TA^TAX=λX^TX+(AX)^T(AX)．
当X≠0时，有X^TX＞0，(AX)^TAX≥0，因此当λ＞0时，对任意X≠0，有
X^TBX=λX^TX+(AX)^T(AX)＞0，
则B为正定矩阵．
证二 为证B正定，下证B的特征值全大于零．设μ为B的任意一特征值，X为对应的特征向量，则BX=μX，即
(λE+A^TA)X=μX，亦即 λX+A^TAX=μX (X≠0)．
两边左乘X^T，得到
λX^TX+λX^TA^TAX=λX^TX+λ(AX)^T(AX)=μX^TX．
因X≠0，故X^TX＞0．又λ＞0(题设)，故λX^TX＞0，而(AX)^TAX≥0，从而λ(AX)^T(AX)≥0，故
λX^TX+λ(AX)^T(AX)＞0， 即 μX^TX＞0．
而X^TX＞0，故μ＞0，即B的特征值全大于零，故B正定．