解答题
21.[2008年] 设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量．向量a 3满足Aα3=α2+α3．(1)证明α1，α2，α3线性无关；(2)令P=[α1，α2，α3]，求P-1AP．
【正确答案】(1)用反证法产生与α1，α2线性无关的矛盾证之．(2)注意到Aα1，Aα2，Aα3可写成α1，α2，α3的线性组合．由命题2．1．2．3知，可将矩阵[Aα1，Aα2，Aα3]改写成矩阵[α1，α2，α3]与另一数字矩阵的乘积，利用前者的可逆性即可求得P-1AP．
(1)用反证法证明．如果α1，α2，α3线性相关，因α1，α2属于A的不同特征值的特征向量，故线性无关．于是α3可由α1，α2线性表出．设α3=l1α1+l2α2，则
Aα3=α2+α3=α2+l1α1+l2α2=(1+l2)α2+l1α1．
又 Aα3=A(l1α1+l2α2)=l1Aα1+l2Aα2=一l1α1+l2α2，
故 l1α1+(1+l2)α2=一l1α1+l2α2， 即 2l1α1+α2=0，
所以α1，α2线性相关，与题设α1，α2线性无关，矛盾．于是α1，α2，α3线性无关．
(2)因Aα1=一α1，Aα2=α2，Aα3=α2+α3，故Aα1，Aα2，Aα3为α1，α2，α3的线性组合，
由命题2．1．2．3得到
A=[α1，α2，α3]=[Aα1，Aα2，Aα3]=[一α1，α2，α3+α3]=[α1，α2，α3]
即AP=P
，又由(1)知，P可逆，故P-1AP=
(1)用反证法证明．如果α1，α2，α3线性相关，因α1，α2属于A的不同特征值的特征向量，故线性无关．于是α3可由α1，α2线性表出．设α3=l1α1+l2α2，则
Aα3=α2+α3=α2+l1α1+l2α2=(1+l2)α2+l1α1．
又 Aα3=A(l1α1+l2α2)=l1Aα1+l2Aα2=一l1α1+l2α2，
故 l1α1+(1+l2)α2=一l1α1+l2α2， 即 2l1α1+α2=0，
所以α1，α2线性相关，与题设α1，α2线性无关，矛盾．于是α1，α2，α3线性无关．
(2)因Aα1=一α1，Aα2=α2，Aα3=α2+α3，故Aα1，Aα2，Aα3为α1，α2，α3的线性组合，
由命题2．1．2．3得到
A=[α1，α2，α3]=[Aα1，Aα2，Aα3]=[一α1，α2，α3+α3]=[α1，α2，α3]
即AP=P
，又由(1)知，P可逆，故P-1AP=【答案解析】