解答题
19.设f(x)在[0，+∞)上连续、非负，且以T为周期，证明：
【正确答案】对充分大的x，存在自然数n，使得nT≤x＜(n+1)T，
因为f(x)≥0，所以∫0nTf(t)dt≤∫0xf(t)dt≤∫0(n+1)Tf(t)dt，
即n∫0Tf(t)dt≤∫0xf(t)dt≤(n+1)∫0Tf(t)dt，由
，得
注意到当x→+∞时，n→∞，且
，
由夹逼定理得
因为f(x)≥0，所以∫0nTf(t)dt≤∫0xf(t)dt≤∫0(n+1)Tf(t)dt，
即n∫0Tf(t)dt≤∫0xf(t)dt≤(n+1)∫0Tf(t)dt，由
，得注意到当x→+∞时，n→∞，且
，由夹逼定理得
【答案解析】