【答案解析】方法一 首先在区间(-∞，1]上求解初值问题：

不难得到方程的通解是
y=Ce ^-x +x ² -2x+2，x≤1.
利用初始条件y(0)=2可确定C=0，从而所求的解为
y=x ² -2x+2，x≤1.
接着在区间(1，+∞)上求解方程
y"+p(x)y=x ² ，x＞1，
即
不难得到方程的通解是

为得到符合题目要求的函数y=y(x)，只需取C使得函数 在x=1与函数y=x ² -2x+2连接起来，即

可得 也就是说分段函数

是符合题目要求的函数．
方法二 按照分段连续函数求原函数的方法，可设p(x)的一个原函数为

于是，当x≤1时，
当x＞1时，
同理，可设x ² e ^Q(x) 的一个原函数为
按照一阶线性微分方程通解公式可得方程y"+p(x)y=x ² 的通解为

其中C是任意常数，下面来推导y的解析式．

利用条件y(0)=2代入x≤1时y的表达式，可确定C=1，从而所求特解为