填空题
设函数f(t)在[0，+∞)上连续，且满足方程f(t)=t2+
【正确答案】
【答案解析】 由于等式两边都含有未知函数f(t)，要求出f(t)的表达式，必须对等式两边求导数得到一个微分方程，再解此微分方程即可得到f(t)的表达式．
注意等式右侧含有二重积分，积分区域D是以原点为中心，半径为t的圆域x2+y2≤t2，被积函数
是以x2+y2为变量的函数，可化为极坐标系下的二重积分来计算．
令x=rcosθ，y=rsinθ，则
于是f(t)=t2+2π
rf(r)dr，两边对t求导得一阶线性微分方程f'(t)=2t+2πtf(t)，可
解得
f(t)=Ceπt2-
．
又由原方程得f(0)=0，由此可确定常数C=
．
于是f(t)=
注意等式右侧含有二重积分，积分区域D是以原点为中心，半径为t的圆域x2+y2≤t2，被积函数
是以x2+y2为变量的函数，可化为极坐标系下的二重积分来计算．令x=rcosθ，y=rsinθ，则
于是f(t)=t2+2π
rf(r)dr，两边对t求导得一阶线性微分方程f'(t)=2t+2πtf(t)，可解得
f(t)=Ceπt2-
．又由原方程得f(0)=0，由此可确定常数C=
．于是f(t)=