教学设计题
在数学课程的教学中，教师应使学生获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基本思想方法。义务教育教学阶段，教师应培养学生的数学基本思想力法包括符号化思想、转化思想、分类讨论思想、数形结合思想等。其中，转化思想是将一个问题由难化易，由繁化简，由复杂化简单的过程；分类讨论思想是把所要研究的问题根据题目的特点和要求，按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想。对于初中阶段的学生而言，在学习“二次函数”的综合应用的过程中，教师对于其转化思想和分类讨论思想的培养尤为重要。
素材：如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=一1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于B点。
素材：如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=一1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于B点。
问答题
19.假设题目抛物线的对称轴上存在点P，依此编写一道数学题目，求在给定条件下的点P的坐标；(不要求解答)
【正确答案】本题具有开放性，题目设置合理即可，下面是儿个示例：
①若点P到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点P的坐标；
②写出使△BPA为等腰直角三角形的点P的坐标：
③写出使△BPC为直角三角形的点p的坐标：
④写出使△BPC为等腰三角形的点P的坐标.
①若点P到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点P的坐标；
②写出使△BPA为等腰直角三角形的点P的坐标：
③写出使△BPC为直角三角形的点p的坐标：
④写出使△BPC为等腰三角形的点P的坐标.
【答案解析】
问答题
20.依据上述素材和要求，试根据问题(1)中编写的题目，以提出问题为主线进行“探究式”解题教学，撰写一份以培养学生独立思考能力及转化和分类讨沦思想为目的的教学过程设计。
【正确答案】教学过程
(一)旧知巩固
师：同学们，我们之前已经学习过了“二次函数”，现在我们一起来复习一下．
师：大家想一下什么是二次函数?
生(预设)：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫作二次函数。(教师板书)
师：很好!那么，大家再想一想，二次函数的图像都有哪些性质呢?
预设学生回答：当二次函数的二次项系数a＞0时，函数图像的开口向上；a＜0时，函数图像的开口向下；二次函数图像的对称轴公式为
，对应的顶点纵坐标公式为
：二次函数与x的交点个数我们也学过。
师：请同学们说一说二次函数与x轴的交点个数如何知道，交点如何求。
生(预设)：二次函数与x轴相交，y=0就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0的求根问题了。
师：这种将一类问题转化为另一类问题去解决的思想就是数学中的转化思想。△=b2一4ac，△＞0时，方程有两
个不同的实数根，即对应的二次函数与x轴有两个交点；△=0时，方程有两个相同的实数根，即对应的二次函数与x轴有一个交点；△＜0时，方程无实数根，即对应的二次函数与x轴没有交点。
师：那么二次函数的增减性呢?
生(预设)：若a＞0，当x＞
时，y随x的增大而增大；当x＜
时，y随x的增大而减小；若a＜0，当x＞一
时，y随x的增大而减小；当x＜一
时，y随x的增大而增大。
师：这种将研究的问题按不同种情况分类去讨论解决的思想就是分类讨论思想。接下来我们一起探究一道练习题，在解题的过程中请同学们好好感受其中应用的数学思想。
(二)题目探究
例题为题目中的素材，问题以(1)中的③为例。
师：根据题目已知内容，我们首先能知道什么?
预设学生回答：可以求得B点坐标!抛物线的对称轴为x=一1，与x轴的一个交点为A(1，0)，所以另一个交点B的坐标为(一3，0)。
师：通过抛物线与x轴的交点，我们可以进一步做什么?
预设学生回答：可以假设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x一1)。
师：看一下还有什么已知条件没有用到?还可以得到什么?
预设学生回答：将点C(0，3)代入抛物线的解析式中，可以求得a=一1，所以抛物线的解析式为y=一(x+3)(x一1)=一x2一2x+3。
师：请看问题，点P为抛物线的对称轴x=一l上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标。
师：大家想一想Rt△BPC，直角边的组合有几种?
生(预设)：有3种，分别是BC⊥CP；BC⊥BP；BP⊥CP。
师：所以对于这个问题我们如何去解答?
生(预设)：分类讨论!
师：那么，由垂直关系我们如何得到点P的坐标呢?(学生讨论)
教师提示：大家想一想通过已知直线可以求出点P所在的直线进而求得点P的坐标吗?
生(预设)：我们可以通过已知的点B和点C，先求出直线BC的解析式，即为y=x+3。
师：现在我们一起来分情况讨论。首先，考虑BC⊥CP的情况。
学生思考讨论后，请同学回答(预设)：BC⊥CP，点P是过点C且与直线BC垂直的直线y=x+3和对称轴x=－1的交点，进而求得点P的坐标为(－1，4)。(教师板书并画图)
师：那么，BC⊥BP时呢?
学生思考讨论后，请同学回答(预设)：BC⊥BP，点P是过点B且与直线BC垂直的直线y=－x－3和对称轴x=－1的交点，进而求得点P的坐标为(－1，－2)。(教师板书并画图)教师预留时间让学生画图思考BP⊥CP时的情况，并提示运用转化思想，转化为圆来思考。
师设问：BC相当于圆的什么?如何求得点P呢?(结合学生回答教师板书并画图)
预设学生回答：BP⊥CP，直径所对的角为直角，BC为圆的直径，圆心为BC的中点
．半径为
．以BC为直径的圆的标准方程为
．圆与对称轴x=－1的交点就是点P。将x=－1代入圆的方程．可以得到点P为
。
师：同学们，这就是我们课堂开始所讲的什么思想方法?
生(预设)：转化思想。
师：所以最后我们可以得出多少个点P呢?结论是什么呢?
生(预设)：使△BPC为直角三角形的点P有四个：P1(－1，4)，P2(－1，－2)，
。
(教师板书)
教师出示本题分类讨论P点的图像，如下图。
(一)旧知巩固
师：同学们，我们之前已经学习过了“二次函数”，现在我们一起来复习一下．
师：大家想一下什么是二次函数?
生(预设)：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫作二次函数。(教师板书)
师：很好!那么，大家再想一想，二次函数的图像都有哪些性质呢?
预设学生回答：当二次函数的二次项系数a＞0时，函数图像的开口向上；a＜0时，函数图像的开口向下；二次函数图像的对称轴公式为
，对应的顶点纵坐标公式为：二次函数与x的交点个数我们也学过。师：请同学们说一说二次函数与x轴的交点个数如何知道，交点如何求。
生(预设)：二次函数与x轴相交，y=0就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0的求根问题了。
师：这种将一类问题转化为另一类问题去解决的思想就是数学中的转化思想。△=b2一4ac，△＞0时，方程有两
个不同的实数根，即对应的二次函数与x轴有两个交点；△=0时，方程有两个相同的实数根，即对应的二次函数与x轴有一个交点；△＜0时，方程无实数根，即对应的二次函数与x轴没有交点。
师：那么二次函数的增减性呢?
生(预设)：若a＞0，当x＞
时，y随x的增大而增大；当x＜时，y随x的增大而减小；若a＜0，当x＞一时，y随x的增大而减小；当x＜一时，y随x的增大而增大。师：这种将研究的问题按不同种情况分类去讨论解决的思想就是分类讨论思想。接下来我们一起探究一道练习题，在解题的过程中请同学们好好感受其中应用的数学思想。
(二)题目探究
例题为题目中的素材，问题以(1)中的③为例。
师：根据题目已知内容，我们首先能知道什么?
预设学生回答：可以求得B点坐标!抛物线的对称轴为x=一1，与x轴的一个交点为A(1，0)，所以另一个交点B的坐标为(一3，0)。
师：通过抛物线与x轴的交点，我们可以进一步做什么?
预设学生回答：可以假设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x一1)。
师：看一下还有什么已知条件没有用到?还可以得到什么?
预设学生回答：将点C(0，3)代入抛物线的解析式中，可以求得a=一1，所以抛物线的解析式为y=一(x+3)(x一1)=一x2一2x+3。
师：请看问题，点P为抛物线的对称轴x=一l上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标。
师：大家想一想Rt△BPC，直角边的组合有几种?
生(预设)：有3种，分别是BC⊥CP；BC⊥BP；BP⊥CP。
师：所以对于这个问题我们如何去解答?
生(预设)：分类讨论!
师：那么，由垂直关系我们如何得到点P的坐标呢?(学生讨论)
教师提示：大家想一想通过已知直线可以求出点P所在的直线进而求得点P的坐标吗?
生(预设)：我们可以通过已知的点B和点C，先求出直线BC的解析式，即为y=x+3。
师：现在我们一起来分情况讨论。首先，考虑BC⊥CP的情况。
学生思考讨论后，请同学回答(预设)：BC⊥CP，点P是过点C且与直线BC垂直的直线y=x+3和对称轴x=－1的交点，进而求得点P的坐标为(－1，4)。(教师板书并画图)
师：那么，BC⊥BP时呢?
学生思考讨论后，请同学回答(预设)：BC⊥BP，点P是过点B且与直线BC垂直的直线y=－x－3和对称轴x=－1的交点，进而求得点P的坐标为(－1，－2)。(教师板书并画图)教师预留时间让学生画图思考BP⊥CP时的情况，并提示运用转化思想，转化为圆来思考。
师设问：BC相当于圆的什么?如何求得点P呢?(结合学生回答教师板书并画图)
预设学生回答：BP⊥CP，直径所对的角为直角，BC为圆的直径，圆心为BC的中点
．半径为．以BC为直径的圆的标准方程为．圆与对称轴x=－1的交点就是点P。将x=－1代入圆的方程．可以得到点P为。师：同学们，这就是我们课堂开始所讲的什么思想方法?
生(预设)：转化思想。
师：所以最后我们可以得出多少个点P呢?结论是什么呢?
生(预设)：使△BPC为直角三角形的点P有四个：P1(－1，4)，P2(－1，－2)，
。(教师板书)
教师出示本题分类讨论P点的图像，如下图。
【答案解析】