问答题 设向量组α 1 ，α 2 ，…，α s (s≥2)线性无关，且 β 1 =α 1 +α 2 ，β 2 =α 2 +α 3 ，…，β s-1 =α s-1 +α s ，β s =α s +α 1 ． 讨论向量组β 1 ，β 2 ，…，β s 的线性相关性．
【正确答案】正确答案：设x 1 β 1 +x 2 β 2 +…+x s β s =O，即 (x 1 +x s )α 1 +(x 1 +x 2 )α 2 +…+(x s-1 +x s )α s =0． 因为α 1 ，α 2 ，…，α s 线性无关，则 其系数行列式 当s为奇数时，|A|=2≠0，方程组只有零解，则向量组β 1 ，β 2 ，…，β s 线性无关； 当s为偶数时，|A|=0，方程组有非零解，则向量组β 1 ，β 2 ，…，β s 线性相关． [β 1 ，β 2 ，…，β s ]=[α 1 ，α 2 ，…，α s ] =[α 1 ，α 2 ，…，α s ]K s×s 因为α 1 ，α 2 ，…，α s 线性无关，所以 r(β 1 ，β 2 ，…，β s )=r(K)． 又r(K)=s |K|=1+(一1) s+1 ≠0，于是s为奇数时，r(β 1 ，β 2 ，…，β s )=s，则向量组β 1 ，β 2 ，…，β s 线性无关； 又r(K)＜s
【答案解析】