解答题
已知向量组(Ⅰ)α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4．证明：向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．
【正确答案】
【答案解析】[证] 要证α1，α2，α3，α5-α4的秩为4，只要证明α1，α2，α3，α5-α4线性无关即可．
因r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，所以α1，α2，α3线性无关，而α1，α2，α3，α4线性相关，故存在数λ1，λ2，λ3使
α4=λ1α1+λ2α2+λ3α3．
设有数k1，k2，k3，k4，使得
k1α1+k2α2+k3α3+k4(α5-α4)=0，
将α4代入上式，化简得
(k1-λ1k4)α1+(k2-λ2k4)α2+(k3-λ3k4)α3+k4α5=0，
由r(Ⅲ)=4知α1，α2，α3，α5线性无关，所以
因r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，所以α1，α2，α3线性无关，而α1，α2，α3，α4线性相关，故存在数λ1，λ2，λ3使
α4=λ1α1+λ2α2+λ3α3．
设有数k1，k2，k3，k4，使得
k1α1+k2α2+k3α3+k4(α5-α4)=0，
将α4代入上式，化简得
(k1-λ1k4)α1+(k2-λ2k4)α2+(k3-λ3k4)α3+k4α5=0，
由r(Ⅲ)=4知α1，α2，α3，α5线性无关，所以