计算题
6.求函数M=xy+2yz在约束条件x2+y2+z2=10下的最大值和最小值．
【正确答案】构造拉格朗日函数L(x，y，z，λ)=xy+2yz+λ(x2+y2+z2－10)，令
当λ≠0时，①，③式联立，消去y，λ得z=2x．将z=2x代入②式，整理后与①式联立，消去λ，得y2=5x2，将z=2x，y2=5x2代入④式可得四个可能极值点
当λ=0时，解得E(2
)．
由于在点A与点B处，M=5
；在点C与点D处，M=－5
；在点E与点F处，M=0．
又因为该问题必存在最值，并且最值不可能在其它点处，所以
Mmax=5
，Mmin=－5
当λ≠0时，①，③式联立，消去y，λ得z=2x．将z=2x代入②式，整理后与①式联立，消去λ，得y2=5x2，将z=2x，y2=5x2代入④式可得四个可能极值点
当λ=0时，解得E(2
)．由于在点A与点B处，M=5
；在点C与点D处，M=－5；在点E与点F处，M=0．又因为该问题必存在最值，并且最值不可能在其它点处，所以
Mmax=5
，Mmin=－5【答案解析】