解答题
设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n阶实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证BTAB为正定矩阵的充分必要条件是矩阵B的秩r(B)=n．
【正确答案】
【答案解析】[证] 必要性：设BTAB是正定矩阵，按正定定义
恒有xT(BTAB)x＞0即(Bx)TA(Bx)＞0
那么
恒有Bx≠0.从而齐次方程组Bx=0只有零解，故秩r(B)=n．
充分性：因为(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，知BTAB为实对称矩阵．
当秩r(B)=n时，Bx=0只有零解，那么
恒有Bx≠0.因为A是正定矩阵，那么当Bx≠0时必有(Bx)TA(Bx)＞0，所以
恒有xT(BTAB)x＞0即(Bx)TA(Bx)＞0那么
恒有Bx≠0.从而齐次方程组Bx=0只有零解，故秩r(B)=n．充分性：因为(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，知BTAB为实对称矩阵．
当秩r(B)=n时，Bx=0只有零解，那么
恒有Bx≠0.因为A是正定矩阵，那么当Bx≠0时必有(Bx)TA(Bx)＞0，所以