解答题
5.设f(x)在[0，1]上阶连续可导且f(0)=f(1)，又｜f''(x)｜≤M，证明：
【正确答案】由泰勒公式得
f(0)=f(x)+f'(x)(0-x)+
(0-x)2，ξ∈(0，x)，
f(1)=f(x)+f'(x)(1-x)+
(1-x)2，η∈(x，1)，
两式相减得 f'(x)=
[f"(ξ)x2-f''(η)(1-x)2]，
取绝对值得 ｜f'(x)｜≤
[x2+(1-x)2]，
因为x2≤x，(1-x)2≤1-x，所以x2+(1-x)2≤1，故｜f'(x)｜≤
f(0)=f(x)+f'(x)(0-x)+
(0-x)2，ξ∈(0，x)，f(1)=f(x)+f'(x)(1-x)+
(1-x)2，η∈(x，1)，两式相减得 f'(x)=
[f"(ξ)x2-f''(η)(1-x)2]，取绝对值得 ｜f'(x)｜≤
[x2+(1-x)2]，因为x2≤x，(1-x)2≤1-x，所以x2+(1-x)2≤1，故｜f'(x)｜≤
【答案解析】