问答题
(本题满分10分)
设x∈(0，1)，证明：
设x∈(0，1)，证明：
【正确答案】
【答案解析】证 因x∈(0，1)，不等式两边取对数，得
令 f(x)=xln(1-
)-ln(1-x)-x，则
当x∈(0，1)时，f""(x)＞0，故f"(x)单调增加，而f"(0)=0，于是有f"(x)＞f"(0)=0，即f(x)在区间(0，1)内单调增加．又f(0)=0，因此x∈(0，1)时，f(x)＞f(0)=0，即
xln(1-
)-ln(1-x)-x＞0，亦即ln(1-x)+x＜xln(1-
)，从而有
令 f(x)=xln(1-
)-ln(1-x)-x，则
当x∈(0，1)时，f""(x)＞0，故f"(x)单调增加，而f"(0)=0，于是有f"(x)＞f"(0)=0，即f(x)在区间(0，1)内单调增加．又f(0)=0，因此x∈(0，1)时，f(x)＞f(0)=0，即
xln(1-
)-ln(1-x)-x＞0，亦即ln(1-x)+x＜xln(1-
)，从而有