单选题
下列结论不正确的是
(A) 设f(x)在[a，b]可导，f'+(a)＞0，f'-(b)＞0，f(b)≥f'(b)，则f'(x)在(a，b)至少有两个零点．
(B) 设f(x)在区间(a，b)二阶可导，且f"(x)＞0(＜0)，又x0∈(a，b)，使得f'(x0)=0，则f(x0)是f(x)在(a，b)上的最小(大)值．
(C) 设f(x)在(a，b)连续，又f(x)在(a，b)有唯一的极值点x=x0．若x=x0是极小值(极大值)点，则f(x0)是f(x)在(a，b)的最小值(最大值)．
(D) 设函数f(x)在[a，b]上连续，且f(a)=f(b)，但f(x)≠C(常数)，则f(x)在(a，b)既有最大值又有最小值．
(A) 设f(x)在[a，b]可导，f'+(a)＞0，f'-(b)＞0，f(b)≥f'(b)，则f'(x)在(a，b)至少有两个零点．
(B) 设f(x)在区间(a，b)二阶可导，且f"(x)＞0(＜0)，又x0∈(a，b)，使得f'(x0)=0，则f(x0)是f(x)在(a，b)上的最小(大)值．
(C) 设f(x)在(a，b)连续，又f(x)在(a，b)有唯一的极值点x=x0．若x=x0是极小值(极大值)点，则f(x0)是f(x)在(a，b)的最小值(最大值)．
(D) 设函数f(x)在[a，b]上连续，且f(a)=f(b)，但f(x)≠C(常数)，则f(x)在(a，b)既有最大值又有最小值．
【正确答案】
D
【答案解析】[解析] 对于(A)：f(x)在[a，6]连续
在[a，b]达到最大值与最小值．由f(a)≥f(b)，若f(x)的最大值在区间端点达到，则必在x=a达到，由f(x)的可导性，必有
＞0表明f(x)的最大值不能在端点达到，同理可证f(x)的最小值也不能在端点x=a或x=b达到，因此f(x)在[a，b]的最大值与最小值必在开区间(a，b)达到，又f(x)在[a，b]可导，在最大值点与最小值点处f'(x)=0，所以f'(x)在(a，b)至少
两个零点．故(A)正确．
对于(B)：由f"(x)＞0(x∈(a，b))及f'(x0)=0可判断f'(x)在x0两侧的符号，从而可得f(x)在x=x0两侧的升降性．
由
在(a，b)单调上升
时f'(x)＜f'(x0)=0；x0＜x＜b时0=f'(x0)＜f'(x)
x∈(a，x0]时f(x)单调下降，x∈[x0，b)时f(x)单调上升
是f(x)在(a，b)的最小值．
f'(a)＜0，f'(x0))=0时类似可证f(x0)是f(x)在(a，b)的最大值．故(B)正确．
对于(C)：设x=x0是极小值点，若它不是最小值点，直观上看，还应存在一个极大值点，见图2-3．现证明之．
若f(x0)不是f(x)在(a，b)的最小值，则]x2∈(a，b)，f(x2)＜f(x0)，不妨设x2＞x0．由x=x0是极小值点
，使得f(x1)＞f(x0)．再由连续函数中间值定理，
使得f(C)=f(x0)．现考察f(x)在区间[x0，c]的值．
，使得
是f(x)的极大值点，与f(x)在(a，b)有唯一极值点矛盾．因此f(x0)是f(x)在(a，b)的最小值．故(C)正确．
[评注] ①请同学证明：设f(x)在[a，b]有连续的导数，在(a，b)有唯一驻点x=x0，若f'+(a)＞0(＜0)，f'-(b)＜0(＞0)，则x=x0是f(x)在[a，b]的最大值点(最小值点)．
②设x=a是y=f(x)在[a，b]上的最大(小)值点，又
，则f'+(a)≤0(≥0)．
[分析与证明] 按f'+(a)的定义，最大值(最小值)的定义及极限的不等式性质可得证．
注意，f(a)是f(x)在[a，b]的最大(小)值
于是由f'+(a)的定义及极限的不等式性质
对于(D)：显然不对．正确命题是：若函数f(x)在[a，b]上连续，且f(a)=f(b)，但
在[a，b]达到最大值与最小值．由f(a)≥f(b)，若f(x)的最大值在区间端点达到，则必在x=a达到，由f(x)的可导性，必有＞0表明f(x)的最大值不能在端点达到，同理可证f(x)的最小值也不能在端点x=a或x=b达到，因此f(x)在[a，b]的最大值与最小值必在开区间(a，b)达到，又f(x)在[a，b]可导，在最大值点与最小值点处f'(x)=0，所以f'(x)在(a，b)至少两个零点．故(A)正确．对于(B)：由f"(x)＞0(x∈(a，b))及f'(x0)=0可判断f'(x)在x0两侧的符号，从而可得f(x)在x=x0两侧的升降性．
由
在(a，b)单调上升时f'(x)＜f'(x0)=0；x0＜x＜b时0=f'(x0)＜f'(x)x∈(a，x0]时f(x)单调下降，x∈[x0，b)时f(x)单调上升是f(x)在(a，b)的最小值．f'(a)＜0，f'(x0))=0时类似可证f(x0)是f(x)在(a，b)的最大值．故(B)正确．
对于(C)：设x=x0是极小值点，若它不是最小值点，直观上看，还应存在一个极大值点，见图2-3．现证明之．
若f(x0)不是f(x)在(a，b)的最小值，则]x2∈(a，b)，f(x2)＜f(x0)，不妨设x2＞x0．由x=x0是极小值点
，使得f(x1)＞f(x0)．再由连续函数中间值定理，使得f(C)=f(x0)．现考察f(x)在区间[x0，c]的值．，使得是f(x)的极大值点，与f(x)在(a，b)有唯一极值点矛盾．因此f(x0)是f(x)在(a，b)的最小值．故(C)正确．[评注] ①请同学证明：设f(x)在[a，b]有连续的导数，在(a，b)有唯一驻点x=x0，若f'+(a)＞0(＜0)，f'-(b)＜0(＞0)，则x=x0是f(x)在[a，b]的最大值点(最小值点)．
②设x=a是y=f(x)在[a，b]上的最大(小)值点，又
，则f'+(a)≤0(≥0)．[分析与证明] 按f'+(a)的定义，最大值(最小值)的定义及极限的不等式性质可得证．
注意，f(a)是f(x)在[a，b]的最大(小)值
于是由f'+(a)的定义及极限的不等式性质
对于(D)：显然不对．正确命题是：若函数f(x)在[a，b]上连续，且f(a)=f(b)，但