【答案解析】所给问题为f(x)的定积分与f^'(ξ)之间的关系，可以考虑成其原函数与F^"(ξ)之间的关系，从而利用二阶泰勒公式来证明．
   如果认定为考查f(x)与f^'(ξ)之间的关系，也可以利用拉格朗日中值定理(一阶泰勒公式)来证明．
   也可以利用积分中值定理来证明．
   方法一：利用f(x)=f(0)+f^'(ξ₁)(x-0)=f(0)+f^'(ξ₁)x可得
因f^'(x)在[0，a]上连续，由闭区间上连续函数的最大值、最小值定理可知，存在m和M，使m≤f^'(x)≤M，于是在[0，a]上有mx≤xf^'(ξ₁)≤Mx，故

即
由连续函数的介值定理知，至少存在一点ξ∈[0，a]，使得
，
   即，
   于是．
   方法二：
   因为f^'(x)连续，x-a≤0(x∈[0，a])，故由积分中值定理知，至少存在一点ξ∈[0，a]，使得
于是．
   方法三：令，则F(x)可用麦克劳林公式表示为

即
令x=a得