设f(x)在[a，b]二阶可导，f(x)＞0，f''(x)＜0((x∈(a，b))，求证：
【正确答案】正确答案：联系f(x)与f''(x)的是泰勒公式．
x
0
∈[a，b]，f(x
0
)=
.将f(x
0
)在
∈[a，b]展开，有 f(x
0
)=f(x)+f'(x)(x
0
-x)+
f''(ξ)(x
0
-x)
2
(ξ在x
0
与x之间)＜f(x)+f'(x)(x
0
-x)(
∈[a，b]，x≠
0
)． 两边在[a，b]上积分得 ∫
a
b
f(x
0
)dx＜∫
a
b
f(x)dx+∫
a
b
f'(x)(x
0
-x)dx=∫
a
b
f(x)dx+f(x
0
-x)df(x) =∫
a
b
f(x)dx-(b-x
0
)f(b)-(x
0
-a)f(a)+∫
a
b
f(x)dx≤2∫
a
b
f(x)dx. 因此 f(x
0
)(b-a)＜2∫
a
b
f(x)dx，即
x
0
∈[a，b]，f(x
0
)=
.将f(x
0
)在
∈[a，b]展开，有 f(x
0
)=f(x)+f'(x)(x
0
-x)+
f''(ξ)(x
0
-x)
2
(ξ在x
0
与x之间)＜f(x)+f'(x)(x
0
-x)(
∈[a，b]，x≠
0
)． 两边在[a，b]上积分得 ∫
a
b
f(x
0
)dx＜∫
a
b
f(x)dx+∫
a
b
f'(x)(x
0
-x)dx=∫
a
b
f(x)dx+f(x
0
-x)df(x) =∫
a
b
f(x)dx-(b-x
0
)f(b)-(x
0
-a)f(a)+∫
a
b
f(x)dx≤2∫
a
b
f(x)dx. 因此 f(x
0
)(b-a)＜2∫
a
b
f(x)dx，即
【答案解析】